圆锥曲线有很多奇妙的性质。下面我们来探讨一下双曲线的一个性质及其应用。
性质：A是双曲线
上的一点，l1，l2是它的两条渐近线，作
交l1于B，
交
于C，则|AB|·|AC|为定值。
证明：因sin∠BOC为定值，
，故只需证得|AD|·|AE|为定值。设点A（x0，y0），而
的方程为
点A到的距离|AD|为
同理，点A到的距离|AE|为
因此，
又
，即
因此，
为定值，即|AB|·|AC|为定值。
我们完成了这个性质的证明，但我们并未得到这个定值。由于这个性质的存在，我们可以用取特殊点的方法或通过计算sin∠BOC而得到定值。计算可得定值为
，请读者自己证明。
这是双曲线一个很有用的性质，熟练应用可以把一些问题化繁为简。请看下面两例。
例1. 如下图，已知双曲线
，一条直线分别与双曲线及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，且
，k为常数，求ΔAOD的面积。
解：作DE⊥BO，垂足为E
∵题中双曲线的两条渐近线互相垂直
∴CO//DE。由性质可知
则
故
例2. 如下图，已知两点A、C在双曲线C1：
上，B、D在另一与C1共渐近线的双曲线C2上，四边形ABCD为平行四边形，且邻边分别平行两条渐近线，求C2的方程。
初看这道题，或许有点找不着思路，因为按照常规计算，计算量是很大的。如果利用双曲线的上述性质，问题会迎刃而解。
解：设AB交渐近线
于
，CD交渐近线于
由性质可知：
又
，所以
设
，则
由于两双曲线共渐近线，则
所以，
，故
▍ 来源：综合网络
▍ 编辑：Wordwuli
圆锥曲线是我们在高中学习过的解析几何中的内容，包括椭圆，双曲线和抛物线。
椭圆是生活中一种常见的曲线，圆也可以算是一种特殊的椭圆，椭圆是高考必考题（笔者也是当年这么考过来的）。
椭圆
双曲线包括两个对称的分支，图中红线是该双曲线的两条渐近线，初中学过的反比例函数的图像就是一种双曲线，x轴和y轴就是它的渐近线。
双曲线
而抛物线，顾名思义就是物体抛出后运动的轨迹，初中学习过的一元二次函数的图像就是抛物线。
抛物线
那么这几种二次曲线和圆锥又有什么关系？圆锥曲线是圆锥和平面相交后的交线，相交的情况不同，所得到的曲线也不同。
当平面与圆锥的轴垂直且和锥面相交，得到的交线是圆。在这种情况下，继续倾斜平面，所得到的交线就是椭圆。
交线为椭圆
当平面倾斜到和圆锥母线（圆锥顶点到底面圆周上点的连线）平行且和底面相交时，所得到的交线就是抛物线。
交线为抛物线
当平面与圆锥的轴平行时，得到的交线是双曲线的一支，若把圆锥面换成对应的二次锥面（通俗地讲，就是在圆锥顶点上再放一个对称地圆锥），得到的就是完整的双曲线。
交线为双曲线
到这里，大家也就搞清楚了这些曲线的起源，更深层次的数学推导和公式此处就不在列举。喜欢的朋友可以点赞关注一下，后续会不定期更新。
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